Question

（2013•順義區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與y軸交于點(diǎn)A，且經(jīng)過B（1，0），C（5，8）兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線頂點(diǎn)，E是對稱軸與直線AC的交點(diǎn)，F(xiàn)與E關(guān)于點(diǎn)D對稱．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：∠AFE=∠CFE；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AFP與△FDC相似？若有，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線過B、C兩點(diǎn)，而且兩點(diǎn)的坐標(biāo)都已得出，可用待定系數(shù)法來求函數(shù)的解析式；
（2）由（1）可得拋物線頂點(diǎn)D（2，-1），直線AC的解析式為y=x+3，由E是對稱軸與直線AC的交點(diǎn)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，由F與E關(guān)于點(diǎn)D對稱，可得F點(diǎn)坐標(biāo)，從點(diǎn)A、C分別向?qū)ΨQ軸作垂線AM、CN，交對稱軸于M、N，通過證明Rt△FAM∽Rt△FCN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）在△FDC中，三內(nèi)角不等，且∠CDF為鈍角，分兩種情況：①若點(diǎn)P在點(diǎn)F下方時(shí)，②若點(diǎn)P在點(diǎn)F上方時(shí)，討論即可求解．

解答：解：（1）將點(diǎn)B（1，0），C（5，8）代入y=ax²+bx+3得

a+b+3=0 25a+5b+3=8

，
解得

a=1 b=-4

，
所以拋物線的解析式為y=x²-4x+3；

（2）由（1）可得拋物線頂點(diǎn)D（2，-1），
直線AC的解析式為y=x+3，
由E是對稱軸與直線AC的交點(diǎn)，則E（2，5），
由F與E關(guān)于點(diǎn)D對稱，則F（2，-7），
證法一：從點(diǎn)A、C分別向?qū)ΨQ軸作垂線AM、CN，交對稱軸于M、N，
在Rt△FAM和Rt△FCN中
∠AMF=∠CNF=90°，

AM

MF

=

2

10

=

1

5

=

3

15

=

CN

NF

所以Rt△FAM∽Rt△FCN，
所以∠AFE=∠CFE；
證法二：直線AF的解析式為y=-5x+3，
點(diǎn)C（5，8）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是Q（-1，8），
將點(diǎn)Q（-1，8）代入y=-5x+3，可知點(diǎn)Q在直線AF上，
所以∠AFE=∠CFE；

（3）在△FDC中，三內(nèi)角不等，且∠CDF為鈍角
①若點(diǎn)P在點(diǎn)F下方時(shí)，
在△AFP中，∠AFP為鈍角
因?yàn)椤螦FE=∠CFE，∠AFE+∠AFP=180°，∠CFE+∠CDF＜180°，
所以∠AFP和∠CDF不相等
所以，點(diǎn)P在點(diǎn)F下方時(shí)，兩三角形不能相似 
②若點(diǎn)P在點(diǎn)F上方時(shí)，
由∠AFE=∠CFE，要使△AFP與△FDC相似
只需

AF

CF

=

PF

DF

（點(diǎn)P在DF之間）或

AF

DF

=

PF

CF

（點(diǎn)P在FD的延長線上）
解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）或（2，19）．

點(diǎn)評：主要考查待定系數(shù)法、方程、函數(shù)及三角形相似等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想．此題是一道以函數(shù)為背景的綜合壓軸題，第1、2兩個(gè)小題較為容易，上手很輕松，第3小題中很容易看出要討論相似三角形的對應(yīng)頂角，想提醒大家的是在中考中應(yīng)該對可能的情況進(jìn)行逐一討論，才能盡量防止漏解．