Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC邊上與B、C不重合的任意一點(diǎn)，DQ⊥AP于點(diǎn)Q

（1）判斷△DAQ與△APB是否相似，并說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，線段DQ也隨之變化，設(shè)PA＝x，DQ＝y，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）△DAQ∽△APB，見(jiàn)解析；（2）y＝，2＜x＜2

【解析】

（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B＝90°，∠DAP＝∠APB，根據(jù)DQ⊥AP，得∠B＝∠AQD，即可證出△DAQ∽△APB；

（2）根據(jù)△DAQ∽△APB，得，再把AB＝2，DA＝2，PA＝x，DQ＝y代入得出，y＝．根據(jù)點(diǎn)P在BC上移到C點(diǎn)時(shí)，PA最長(zhǎng)，求出此時(shí)PA的長(zhǎng)即可得出x的取值范圍．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，∠B＝90°，

∴∠DAP＝∠APB，

∵DQ⊥AP，

∴∠AQD＝90°，

∴∠B＝∠AQD，

∴△DAQ∽△APB；

（2）∵△DAQ∽△APB，

∴，

∵AB＝2，四邊形ABCD是正方形，

∴DA＝2，

∵PA＝x，DQ＝y，

∴，

∴y＝．

∵點(diǎn)P在BC上移到C點(diǎn)時(shí)，PA最長(zhǎng)，此時(shí)PA＝，

又∵P是BC邊上與B、C不重合的任意一點(diǎn)，

∴x的取值范圍是；2＜x＜2．