Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，以A為一個(gè)頂點(diǎn)的等邊三角形ADE繞點(diǎn)A在∠BAC內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AD、AE所在的直線(xiàn)與BC邊分別交于點(diǎn)F、G．若點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′，當(dāng)△FGB′是以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，BF的長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】4﹣4

【解析】

試題分析：作AH⊥BC于H，如圖1，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出BC=4，再把△ACG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABG′，連結(jié)FG′、AB′，如圖，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BG′=CG，AG=AG，∠ABG′=∠C=30°，∠1=∠BAG′，所以∠FBG′=60°，再證明△AFG≌△AFG′得到FG=FG′，接著利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得FB=FB′，AB=AB′，∠2=∠3，易得∠1=∠4，AC=AB′，則可判斷△AB′G與△ACG關(guān)于A(yíng)G對(duì)稱(chēng)，得到GB′=GC，則GB′=BG′，然后證明△FB′G≌△FBG′得到∠FGB′=∠BG′F=90°，于是在Rt△BFG′中含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BG′=BF，F(xiàn)G′=BF，則BF+BF+BF=BC=4，然后解關(guān)于BF的方程即可．