Question

下列命題：

①若a+b+c=0，則b²﹣4ac＜0；

②若b=2a+3c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；

③若b²﹣4ac＞0，則二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸的交點的個數(shù)是2或3；

④若b＞a+c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根．

其中正確的是(     )

A．②④ B．①③  C．②③ D．③④

Answer 1

C【考點】拋物線與x軸的交點．

【分析】①首先把a+b+c=0變形為b=﹣a﹣c，然后代入b²﹣4ac中利用完全平方公式即可解決問題；

②首先b=2a+3c代入方程的判別式中，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

③由于b²﹣4ac＞0，所以拋物線與x軸有兩個不同的交點，由此即可判定此結(jié)論是否正確；

④由于b＞a+c，只要給出一個反例即可解決問題．

【解答】解：①∵a+b+c=0，

∴b=﹣a﹣c，

∴b²﹣4ac=（﹣a﹣c）²﹣4ac=a²+2ac+c²﹣4ac=a²﹣2ac+c²=（a﹣c）²≥0，故錯誤；

②∵b=2a+3c，

∴b²﹣4ac=（2a+3c）²﹣4ac=4a²+12ac+9c²﹣4ac=4a²+8ac+9c²=4（a+c）²+5c²＞0，

∴一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，故正確；

③∵b²﹣4ac＞0，

∴拋物線與x軸有兩個不同的交點，

∴二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸的公共點的個數(shù)是3或2，故正確；

④∵b＞a+c，那么設(shè)b=2，a=﹣4，c=﹣2，

∴b²﹣4ac=4﹣32＜0，

∴一元二次方程ax²+bx+c=0沒有實數(shù)根，故錯誤．

故選C．

【點評】此題主要利用了二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交點的個數(shù)的判斷．