Question

若a、b、c是△ABC的三邊，a+c=2b，且方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有兩個相等的實數(shù)根，sinA+sinB+sinC的值．

Answer 1

【答案】分析：先把方程化為一般形式，利用方程有兩個相等的實數(shù)根，則△=0，得到a²+b²=c²，△ABC是以c為斜邊的直角三角形；利用正弦的定義把sinA+sinB+sinC化為邊的關系；又由a+c=2b和a²+b²=c²，求出三邊的關系；最后計算sinA+sinB+sinC的值．
解答：解：將方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0化為一般形式為（c-a）x²+2bx+c+a=0，因為它有兩個相等的實數(shù)根，所以c-a≠0，△=0，即4b²-4（c-a）（c+a）=0，a²+b²=c²．
所以△ABC是以c為斜邊的直角三角形．
則有sinA+sinB+sinC=++1=+1，
又∵a+c=2b，則c=2b-a，代入a²+b²=c²，得3b=4a，令a=4t，則b=3t，c=5t，
∴sinA+sinB+sinC=+1=+1=．
點評：本題考查了一元二次方程根的判別式．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根；同時考查了三角函數(shù)的定義和代數(shù)式變形的能力．