Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A，D，E，F(xiàn)按逆時(shí)針排列），使∠DAF=60°，直線EF與直線BC交于H.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，試說(shuō)明：；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論；是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出AD、DH、AC之間存在的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出AD、DH、AC之間存在的數(shù)量關(guān)系.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）成立；（3）補(bǔ)圖見(jiàn)解析，數(shù)量關(guān)系.

【解析】分析：（1）通過(guò)△ACD∽△DEH的對(duì)應(yīng)邊成比例得到，即=，則AD2=DHAC；

（2）圖（2）中，AD2=DHAC仍然成立．易證△ACD∽△DEH，則該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例：，即=，則AD2=DHAC；

（3）如圖3，解題思路同（2）．易證△ACD∽△DEH，則該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例：，即=，則AD2=DHAC．

詳解：（1）∵四邊形ADEF是菱形，∠DAF=60°，

∴AD∥EF，∠DAF=∠E=60°，AD=DE，∴∠1=∠2．

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACD=60°，∠ACD=∠E，∴△ACD∽△DEH，∴，即=，∴AD2=DHAC；

（2）結(jié)論是：圖（2）中，AD2=DHAC仍然成立．

理由如下：如圖2．

∵在菱形ADEF中，AD∥EF，∠DAF=∠E=60°，AD=DE，∴∠ADC=∠DHE，∠DEF=120°．

又∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACD=120°，∴∠ACD=∠DEH，∴△ACD∽△DEH，∴，即=，則AD2=DHAC；

（3）補(bǔ)全圖形是如圖3．?dāng)?shù)量關(guān)系AD2=DHAC．理由同（2）．