Question

如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE．

(1)求證：CE＝CF；

(2)在圖1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

(3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在正方形ABCD中， 　　∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， 　　∴△CBE≌△CDF． 　　∴CE＝CF． 　　(2)解：GE＝BE＋GD成立． 　　∵△CBE≌△CDF， 　　∴∠BCE＝∠DCF． 　　∴∠ECD＋∠ECB＝∠ECD＋∠FCD 　　即∠ECF＝∠BCD＝90°， 　　又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°． 　　∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC， 　　∴△ECG≌△FCG． 　　∴EG＝GF． 　　∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD． 　　(3)解：過(guò)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G． 　　在直角梯形ABCD中， 　　∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°， 　　又∠CGA＝90°，AB＝BC， 　　∴四邊形ABCD為正方形． 　　∴AG＝BC＝12． 　　已知∠DCE＝45°，根據(jù)(1)(2)可知，ED＝BE＋DG． 　　設(shè)DE＝x，則DG＝x－4， 　　∴AD＝16－x． 　　在Rt△AED中， 　　∵，即． 　　解得：x＝10． 　　∴DE＝10．