Question

如圖10-1，已知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)B，直線m垂直AB于點(diǎn)C，交⊙O于P、Q兩點(diǎn). 連結(jié)AP，過O作OD∥AP交l于點(diǎn)D，連接AD與m交于點(diǎn)M.

(1) 如圖10-2，當(dāng)直線m過點(diǎn)O時(shí)，求證：M是PO的中點(diǎn)；

(2) 如圖10-1，當(dāng)直線m不過點(diǎn)O時(shí)，M是否仍為PC的中點(diǎn)？證明你的結(jié)論.

Answer 1

 (1) 證明：連接PD，

∵ 直線m垂直AB于點(diǎn)C，直線l與⊙O相切于點(diǎn)B，AB為直徑，

∴ ∠POA=∠DBA=90°.

又∵ AP∥OD，∴ ∠PAO=∠DOB.

又∵ AO=BO，∴ △APO≌△ODB.

∴ AP=OD，∴ 四邊形APDO是平行四邊形，

∴ M是PO的中點(diǎn).

(其他解法：證△APO≌△ODB后，據(jù)中位線定理證；或證△DPO≌△DBO，得∠DPO=∠DBO=90°，從而證四邊形APDO是平行四邊形等.)

(2)  M是PC的中點(diǎn). 證明如下：

∵AP∥OD，∴ ∠PAO=∠DOB，又 ∠PCA=∠DBO=90°，

∴ △APC∽△ODB，∴ .①

又易證△ACM∽△ABD，∴ .

又∵ AB=2OB，∴ ，∴.②

由①②得，，∴ PC=2MC，即M是PC的中點(diǎn).