Question

已知在△ABC中，AB=2，AC=2，BC邊上的高AD=．
（1）求BC的長；
（2）若有一個正方形的一邊在AB上，另外兩個頂點分別在AC和BC上，求正方形的面積．

Answer 1

解：根據(jù)條件顯然有兩種情況，如圖，
（1）在圖（1）中，可求CD=1，∠CAD=30°，
∴∠B=30°，∠C=60°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC=4．
在圖（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，
∴∠BAD=60°，△ABC是等腰三角形，AC平分∠BAD，
BC=AC=2．

（2）在圖（3）中，設(shè)正方形邊長為x，
∵，
∴，
解得x=3-，
∴S_正方形=12-6（當BC=4時），

在圖（4）中，當BC=2時，
∵AC=2，
∴△ABC是等腰三角形，此時內(nèi)接正方形h是△ABC的AB邊上的高，
h==1，
設(shè)正方形邊長為x，由△HGC∽△ABC得，
=，即，
解得，
∴S_正方形=（當BC=2時）．
分析：（1）根據(jù)題中所給的條件，應(yīng)分兩種情況進行討論，AD在△ABC內(nèi)部和外部；
（2）設(shè)正方形邊長為x，根據(jù)平行線比例關(guān)系，解得正方形邊長，從而求出正方形的面積．
點評：本題在求解時應(yīng)分情況進行討論，還考查解直角三角形的定義及正方形面積公式，由直角三角形已知元素求未知元素的過程，只要理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系即可求解．