Question

【題目】拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：① 4ac<b2；② 方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根分別是x1＝-1，x2＝3；③ 3a＋c>0；④當(dāng) y>0時(shí)，x的取值范圍是-1<x<3；⑤ 當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大．其中正確的結(jié)論序號(hào)有_____________________．

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

利用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則可對(duì)②進(jìn)行判斷；由對(duì)稱軸方程得到b=-2a，然后根據(jù)x=-1時(shí)函數(shù)值為0可得到3a+c=0，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍可對(duì)④進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)⑤進(jìn)行判斷．

解：∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，

∴b2-4ac＞0，

∴4ac＜b2，故①正確；

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

而點(diǎn)（-1，0）關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），

∴方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1=-1，x2=3，故②正確；

∵x==1，即b=-2a，

而x=-1時(shí)，y=0，即a-b+c=0，

∴a+2a+c=0，

即3a+c=0，故③錯(cuò)誤；

∵拋物線與x軸的兩點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（3，0），

∴當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是-1＜x＜3，故④正確；

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x增大而增大，

∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而增大，故⑤正確；

所以其中結(jié)論正確有①②⑤，

故答案為：①②④⑤．