Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點C坐標(biāo)為（-1，0），tan∠ACO=2．一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點B、C，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點B．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）直接寫出當(dāng)x＜0時，kx+b-＜0的解集；
（3）在x軸上找一點M，使得AM+BM的值最小，并求出點M的坐標(biāo)和AM+BM的最小值．

Answer 1

解：（1）過點B作BF⊥x軸于點F，

在Rt△AOC中，AC==，則sin∠CAO==，
∵∠BCA=90°，
∴∠BCF+∠ACO=90°，
又∵∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠BCF=∠CAO，
∴sin∠BCF=sin∠CAO==，
∴BF=1，
∴CF==2，
∴點B的坐標(biāo)為（-3，1），
將點B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得：1=，
解得：k=-3，
故可得反比例函數(shù)解析式為y=-；
將點B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得：，
解得：．
故可得一次函數(shù)解析式為y=-x-．

（2）結(jié)合點B的坐標(biāo)及圖象，可得當(dāng)x＜0時，kx+b-＜0的解集為：-3＜x＜0；

（3）作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接 B A′與x軸 的交點即為點M，

設(shè)直線BA'的解析式為y=ax+b，將點A'及點B的坐標(biāo)代入可得：，
解得：．
故直線BA'的解析式為y=-x-2，
令y=0，可得-x-2=0，
解得：x=-2，
故點M 的坐標(biāo)為（-2，0），
AM+BM=BM+MA′=BA′==3．
綜上可得：點M的坐標(biāo)為（-2，0），AM+BM的最小值為3．
分析：（1）在Rt△AOC中求出AC的長度，然后求出sin∠CAO的值，過點B作BF⊥x軸于點F，由∠BCF=∠CAO，可求出BF，繼而得出FC，從而求得點B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）不等式的含義為：當(dāng)x＜0時，求出一次函數(shù)值y=kx+b小于反比例函數(shù)y=的x的取值范圍，結(jié)合圖形即可直接寫出答案．
（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，找到點A關(guān)于x的對稱點A'，連接BA'，則BA'與x軸的交點即為點M的位置，求出直線BA'的解析式，可得出點M的坐標(biāo)，根據(jù)B、A'的坐標(biāo)可求出AM+BM的最小值．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱求最短路徑及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，綜合考察的知識點較多，注意培養(yǎng)自己解綜合題的能力，將所學(xué)知識融會貫通．