Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為M（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上．
（1）求m的值及這個二次函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上找一點Q，使△QAB的周長最小，并求出此時Q點坐標；
（3）若P（a，0）是x軸上的一個動點，過P作x軸的垂線分別與直線AB和二次函數(shù)的圖象交于D、E兩點．
①設(shè)線段DE的長為h，當0＜a＜3時，求h與a之間的函數(shù)關(guān)系式；
②若直線AB與拋物線的對稱軸交點為N，問是否存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A點坐標分別代入拋物線的直線，便可求出拋物線的解析式和m的值；
（2）使△QAB的周長最小，即是求AQ+BQ的值最小，作出B點關(guān)于x軸的對稱點B′，當A、Q、B′三點在一條直線上時，△QAB的周長最��；
（3）①根據(jù)P點坐標分別求出DE兩點坐標，便可求出h與a之間的函數(shù)關(guān)系式；
②存在，P點坐標為（

3+ 17

2

，0），（

3 - 17

2

，0）．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²，
∵點A（3，4）在拋物線上，則4=a（3-1）²，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²
∵點A（3，4）也在直線y=x+m，即4=3+m，
解得m=1；

（2）直線y=x+1與y軸的交點B的坐標為B（0，1），
B點關(guān)于x軸的對稱點B′點的坐標為B′（0，-1），
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，
將A、B′兩點坐標代入y=kx+b，
解得k=

5

3

，b=-1，
∴設(shè)直線AB的解析式為y=

5

3

x-1，
當A、Q、B′三點在一條直線上時，
AQ+BQ的值最小，即△QAB的周長最小，
Q點即為直線AB′與x軸的交點．
Q點坐標為Q(

3

5

，0)(3分)

（3）①已知P點坐標為P（a，0），則E點坐標為E（a，a²-2a+1），D點坐標為D（a，a+1），
h=DE=y_D-y_E=a+1-（a²-2a+1）=-a²+3a，
∴h與a之間的函數(shù)關(guān)系式為h=-a²+3a（0＜a＜3）（3分）

②存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形
理由是∵M（1，0），
∴把x=1代入y=x+1得：y=2，
即N（1，2），
∴MN=2，
要使四邊形NMED是平行四邊形，必須DE=MN=2，
由①知DE=|-a²+3a|，
∴2=|-a²+3a|，
解得：a₁=2，a₂=1，a₃=

3+ 17

2

，a₄=

3- 17

2

，
∴（2，0），（1，0）（因為和M重合，舍去）（

3+ 17

2

，0），（

3- 17

2

，0）
∴P的坐標是（2，0），（

3+ 17

2

，0），（

3- 17

2

，0）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和三角形的性質(zhì)等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．