Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，
（1）在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置．
（2）在直線AB上是否存在一點(diǎn)P，使△PDC為直角三角形？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）題中沒(méi)有指明具體的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析；
（2）假設(shè)存在一點(diǎn)P，使△PDC為直角三角形．題中沒(méi)有指明具體的直角及P點(diǎn)的活動(dòng)范圍，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析．
解答：解：（1）①當(dāng)△PAD∽△PBC時(shí)，
AP：PB=AD：BC，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴AP=；
②當(dāng)△ADP∽△BPC時(shí)，
AP：BC=AD：BP，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6；
綜合①②P點(diǎn)距離A點(diǎn)有三個(gè)位置：PA=；PA=1或PA=6；

（2）
存在．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，則
DE=AB=7，
EC=BC-AD=3-2=1，
∴CD=5；
①當(dāng)P在線段AB上，且∠DPC=90°時(shí)，
PD²+PC²=CD²，
∵△ADP∽△BPC，
∴AP：BC=AD：BP，
∵AP+PB=AB=7，AD=2，BC=3，
∴=
∴PA=1或PA=6；
②當(dāng)P在線段AB上，且∠PDC=90°時(shí)，
PD²+DC²=CP²，
∵PD²=AD²+AP²，PC²=PB²+BC²，AP+PB=AB=7，
∴PA=；
③當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且∠PDC=90°時(shí)，
PD²+DC²=CP²，
∵PD²=AD²+AP²，PC²=PB²+BC²，AP=PB+AB，
∴PB=-（舍去）；
④當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且∠DPC=90°時(shí)，
PD²+PC²=CD²，
∵PD²=AD²+AP²，PC²=PB²+BC²，AP=PB+AB，
∴PA=．（舍去）
綜合①②③④，在直線AB上存在一點(diǎn)P，使△PDC為直角三角形，它據(jù)A點(diǎn)的距離是：PA=1或PA=6；PA=．
點(diǎn)評(píng)：解答本題時(shí)需注意：找對(duì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊．