Question

如圖，矩形ABCD中，E是BD上的一點(diǎn)，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，

點(diǎn)G是BC、AE延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)，AG與CD相交于點(diǎn)F。

求證：四邊形ABCD是正方形；

當(dāng)AE=2EF時(shí)，判斷FG與EF有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，

∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE。

∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE。

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD。

∴∠CBE=∠ABE=45°。∴△ABD與△BCD是等腰直角三角形。

∴AB=AD=BC=CD，∴四邊形ABCD是正方形。

（2）解：當(dāng)AE=2EF時(shí)，F(xiàn)G=3EF。證明如下：

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE。

∵AE=2EF，∴BE：DE=AE：EF=2。∴BC：AD=BE：DE=2，即BG=2AD。

∵BC=AD，∴CG=AD。

∵△ADF∽△GCF，∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF。

【解析】矩形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性質(zhì)，即可得∠CBE=∠ABE，又由四邊形ABCD是矩形，即可證得△ABD與△BCD是等腰直角三角形，繼而證得四邊形ABCD是正方形。

 （2）由題意易證得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得FG=3EF。