Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA、PC分別與⊙O 相切于點A、C，PC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E.

（1）求證：∠EPD=∠EDO

（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的長.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

【解析】（1）PA，PC與⊙O分別相切于點A，C，∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO=90°，

∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO；

（2）連接OC，

∴PA=PC=6，∵tan∠PDA=，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，∴CD=4， ∵tan∠PDA=，

∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∠EPD=∠ODE，∴△OED∽△DEP，∴，∴DE=2OE在Rt△OED中，OE²+DE²=OD²，即5OE²=5²，∴OE=．