Question

【題目】如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．

（1）∠ACB的大小為　 　；

（2）在如圖所示的網(wǎng)格中以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△AB'C'，保留作圖痕跡，不要求證明；

（3）點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，在（2）的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'，當(dāng)線段CP'最短時(shí)，CP'的長(zhǎng)度為　 　．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）利用勾股定理的逆定理即可解決問(wèn)題．

（2）如圖，延長(zhǎng)AC到格點(diǎn)B′，使得AB′＝AB＝，取格點(diǎn)E，F，G，H，連接EG，FH交于點(diǎn)Q，取格點(diǎn)E′，F′．G′，H′，連接E′G′，F′H′交于點(diǎn)Q′，作直線AQ′，直線B′Q交于點(diǎn)C′，△AB′C′即為所求．

（3）通過(guò)將點(diǎn)B以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC旋轉(zhuǎn)，找到線段BC旋轉(zhuǎn)后所得直線FG，只需找到點(diǎn)C到FG的垂足即為P′．

（1）由網(wǎng)格圖可知

，，，

∵AC2+BC2＝AB2

∴由勾股定理逆定理，△ABC為直角三角形．

∴∠ACB＝90°

故答案為：90°．

（2）如圖，延長(zhǎng)AC到格點(diǎn)B′，使得AB′＝AB＝，取格點(diǎn)E，F，G，H，連接EG，FH交于點(diǎn)Q，取格點(diǎn)E′，F′．G′，H′，連接E′G′，F′H′交于點(diǎn)Q′，作直線AQ′，直線B′Q交于點(diǎn)C′，△AB′C′即為所求．

（3）作圖過(guò)程如下：

取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G：取格點(diǎn)F，連接FG交TC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′即為所求

證明：連CF

∵AC，CF為正方形網(wǎng)格對(duì)角線

∴A、C、F共線

∴ ,

由圖形可知： ， ，

∵ ， ，

∴，∵∠GCF＝∠ACB，

∴△ACB∽△GCF

∴∠GFC＝∠B

∵

∴當(dāng)BC邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠CAB時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C在射線FG上．

由作圖可知T為AB中點(diǎn)

∴∠TCA＝∠TAC

∴∠F+∠P′CF＝∠B+∠TCA＝∠B+∠TAC＝90°

∴CP′⊥GF

此時(shí)，CP′最短

故答案為：如圖，取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G：取格點(diǎn)F，連接FG交TC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′即為所求．