Question

（2012•河池）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OEFG的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，2），將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸上，得到矩形OMNP，OM與GF相交于點(diǎn)A．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象交EF于點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（4，

1

2

）

．

Answer 1

分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P=∠POM=∠OGF=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠PNO=∠GOA，然后根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到△OGA∽△NPO；由E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）得到OE=4，OG=2，則OP=OG=2，PN=GF=OE=4，由于△OGA∽△NPO，則OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2，可求得GA=1，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），然后利用待定系數(shù)法即可得到過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式，再利用B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4和B點(diǎn)在y=

2

x

得到B點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：∵矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸的點(diǎn)N處，得到矩形OMNP，
∴∠P=∠POM=∠OGF=90°，
∴∠PON+∠PNO=90°，∠GOA+∠PON=90°，
∴∠PNO=∠GOA，
∴△OGA∽△NPO；
∵E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴OE=4，OG=2，
∴OP=OG=2，PN=GF=OE=4，
∵△OGA∽△NPO，
∴OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2，
∴GA=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
設(shè)過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式為y=

k

x

，
把A（1，2）代入y=

k

x

得k=1×2=2，
∴過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；
把x=4代入y=

2

x

中得y=

1

2

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，

1

2

）．
故答案為：（4，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式；運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．