如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA＝PB．

(1)求證：PB是⊙O的切線；

(2)已知PA＝，BC＝1，求⊙O的半徑．

答案：
解析：

　　(1)證明：連接OB．

　　∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．

　　∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA．

　　∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，

　　即∠PAO＝∠PBO　　2分

　　又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°，

　　∴∠PBO＝90°，∴OB⊥PB　　4分

　　又∵OB是⊙O半徑，

　　∴PB是⊙O的切線　　5分

　　說明：還可連接OB、OP，利用△OAP≌△OBP來證明OB⊥PB．

　　(2)解：連接OP，交AB于點D．

　　∵PA＝PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．

　　∵OA＝OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上．

　　∴OP垂直平分線段AB　　7分

　　∴∠PAO＝∠PDA＝90°．

　　又∵∠APO＝∠DPA，∴△APO∽△DPA．

　　

　　說明：求半徑時，還可證明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理．


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3
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3
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