如圖,四邊形ABCD、BEFG均為正方形.
(1)如圖1,連接AG、CE,試判斷AG和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明.
(2)將正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)β角(0°<β<180°),如圖2,連接AG、CE相交于點M,連接MB,當角β發(fā)生變化時,∠EMB的度數(shù)是否發(fā)生變化?若不變化,求出∠EMB的度數(shù);若發(fā)生變化,請說明理由.
(3)在(2)的條件下,過點A作AN⊥MB交MB的延長線于點N,請直接寫出線段CM與BN的數(shù)量關(guān)系 .
詳見解析.
【解析】
試題分析:
(1)判斷和
的數(shù)量關(guān)系,可通過
證
求解.判斷
和
的位置關(guān)系,可延長
交
于點
,求
即可。
(2),理由是:過點
作
,
,利用
得出
,由全等三角形得到面積相等,而
,可得出
,由到角兩邊距離相等的點在角的平分線上得
為
的角平分線,再由
,及一對對頂角相等,可得
,利用角平分線的定義即可求解.
(3).如備用圖,在
上截取
,由
可得
為等腰直角三角形,由勾股定理得
,然后證
,因為
(理由:
;由問題2中
得
;以及正方形的邊
.由
可得全等).根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可求證.
試題解析:
解:(1),
理由如下:如上圖1,
∵四邊形BEFG和ABCD為正方形
∴
∵在和
中
∴
∴,
延長交
于點
,
∴
∴
∴
(2),理由如下:如上圖2
過點作
,
在和
中
∴
∴
∴
∴
∴平分
∵
∴
(3)
考點:1、正方形的性質(zhì).2、全等三角形的判定.3、角平分線的性質(zhì).4、勾股定理.
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