Question

如圖，在平面直角坐標系中，、為軸上兩點，、為一上兩點，經過點、、的拋物線的一部分與經過點、的拋物線的一部分組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點的坐標為，點是拋物線的頂點．

（1）求、兩點的坐標；
（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點，使得的面積最大？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）當為直角三角形時，求的值．

Answer 1

（1）A（-1，0）、B（3，0） （2）S_△PBC最大值為．（3）m=-1或m=

解析試題分析：(1)解：令y=0,則   ∵m＜0，∴    
解得： ．
∴A（-1，0）、B（3，0）．
（2）存在．                                                            
∴
設P（n, ）
∴ S_{四邊形BOCP}= S_△POC + S_{四邊形BOCP} -S_△BOC =              
∵a=<0, ∴當n=時,S_△PBC最大值為．
（3）由C₂可知： D（0，-3m）, M(1,-4m) , B(3,0)
BD²=, BM²= , DM²= ,                
∵∠MBD<90°, ∴討論∠BMD=90°和∠BDM=90°兩種情況．
當∠BMD=90°時，BM²+ DM²= BD²，+=
解得：m₁=, m₁=(舍去)
當∠BDM=90°時，BD²+ DM²= BM²，+=
解得：m₁= -1, m₁="1" (舍去)
綜上 m=-1或m=時，△BDM為直角三角形
考點：拋物線
點評：本題考查拋物線，會用配方法求最值，會解一元二次方程是解答本題的關鍵，拋物線是中考的必考內容，此題難度較大