Question

（12分）如圖⑴所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)。我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

⑴觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；
⑵請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX =__________°；
②如圖(3)，DC平分∠ADB, EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數；
③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G₁、G₂、G₉，，若∠BDC=140⁰，∠BG₁C=77°，求∠A的度數。

Answer 1

（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C（2）40°，∠DCE=90°，∠A為70°

試題分析：解：（1）連接AD并延長至點F，
由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；
相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1）的結論易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
又因為∠A=50°，∠BXC=90°，所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；
②由（1）的結論易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；而∠DCE=
（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；
③∠BG1C═（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C=77°，∴設∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD=140°-x°
∴（140-x）+x=77，14-x+x=77，x=70∴∠A為70°．
點評：本題難度較大。需要學生用已學的知識點進行探究規(guī)律與歸納計算。在做這類題型時，通常第一二問較容易求證，而第三問要結合前面2個證明總結出規(guī)律來進行計算。