Question

【題目】閱讀下列各題并按要求完成：

（1）定義：若兩個(gè)一元二次方程有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則稱這兩個(gè)方程為“友好方程”，已知關(guān)于x的一元二次方程 x 2x 0 與 x 3x m 1 0 為“友好方程”，求 m 的值；

（2）關(guān)于x的一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,,且二次根式有意義，若T=，求T的取值范圍;

（3）我們不妨約定方程的整數(shù)解稱之為“硬核”，例如x=1就稱為方程(x-1)(2x+1)=0 的一個(gè)“硬核”，若一元二次方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0（k為常數(shù)）有兩個(gè)不同的“硬核”，試確定方程的兩個(gè)“硬核”及常數(shù) k 的值.

Answer 1

【答案】（1）9或1；（2）；（3）方程的兩個(gè)“硬核”為3和1，k＝.

【解析】

（1）首先解第一個(gè)方程，然后利用友好方程的定義代入第二個(gè)方程求得m的值即可；

（2）首先根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和二次根式有意義的條件，得到關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍，然后對T進(jìn)行化簡，代入x1+x2=4-2m，x1x2= m2-3m+3，可得，最后由m的取值范圍可得T的取值范圍；

（3）由方程為一元二次方程即可得出k-3k+2≠0，解之可得出k≠1且k≠2，利用因式分解法解一元二次方程可得出x1＝，x2＝，由方程的兩根均為整數(shù)可設(shè)，（其中m、n均是不為1的整數(shù)），分析得出k≠0，n≠0，解分式方程用含m、n的代數(shù)式表示出k值，得到m＝2，結(jié)合m、n均為整數(shù)即可求出n＝1，然后易求m與k值，此題得解．

解：（1）解x22x＝0得：x＝0或x＝2，

∵關(guān)于x的一元二次方程x22x＝0與x2＋3x＋m1＝0為“友好方程”，

∴22＋3×2＋m1＝0或02＋3×0＋m1＝0，

解得：m＝9或m＝1，

∴m的值為9或1；

（2）∵關(guān)于x的一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴△=[2(m-2)]2-4(m2-3m+3)＞0，x1+x2=4-2m，x1x2= m2-3m+3，

∵二次根式有意義，

∴m+1≥0,

∴-1≤m＜1，

∴T=

，

∴，即;

（3）∵方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0為一元二次方程，

∴k-3k+2＝（k1）（k2）≠0，

∴k≠1且k≠2．

∵(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k＝[（k1）x＋k][（k2）x＋k1]＝0，

∴x1＝，x2＝，

∵一元二次方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)解，

∴設(shè)，（其中m、n均是不為1的整數(shù)），

∵當(dāng)k＝0時(shí)，x1＝0，x2＝，

∴k≠0，

∵k≠1，

∴n≠0．

∴k＝＝，

∴m＝2．

∵m為整數(shù)，n為整數(shù)，

∴n＝1或n＝1（舍去）．

∴，m=2=3，

解得：k＝．

即方程的兩個(gè)“硬核”為3和1，k＝.