Question

【題目】如圖1，我們將相同的兩塊含30°角的直角三角板Rt△DEF與Rt△ABC疊合，使DE在AB上，DE過點C，已知AC＝DE＝6．

（1）將圖1中的△DEF繞點D逆時針旋轉（DF與AB不重合），使邊DF、DE分別交AC、BC于點P、Q，如圖2．

①求證：△CQD∽△APD；②連接PQ，設AP＝x，求面積S△PCQ關于x的函數關系式；

（2）將圖1中的△DEF向左平移（點A、D不重合），使邊FD、FE分別交AC、BC于點M、N設AM＝t，如圖3．

①判斷△BEN是什么三角形？并用含t的代數式表示邊BE和BN；②連接MN，求面積S△MCN關于t的函數關系式；

（3）在旋轉△DEF的過程中，試探求AC上是否存在點P，使得S△PCQ等于平移所得S△MCN的最大值？說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）①△BEN是等腰三角形，BE＝6﹣t，BN＝（6﹣t），②；（3）存在，見解析．

【解析】

（1）①易得∠BCD＝∠A＝60°，∠ADP＝∠CDE，那么可得△CQD∽△APD②利用相似可得CQ＝x，那么PC＝6﹣x．可表示出S△PCQ

（2）①由外角∠FEN＝60°，∠B＝30°，可得∠BNE＝30°，∴NE＝BN，那么△BEN是等腰三角形．易得AD＝t，AB＝12，那么BE＝12﹣AD﹣DE＝6﹣t．過E作EG⊥BN于點G．利用30°的三角函數可求得BG，進而求得BN

②容易利用t表示出MC、CN，即可表示出所求面積

（3）利用二次函數的最值表示出S△MCN的最大值，讓前面所求的面積的代數式等于即可．

（1）①證明：∵∠F＝∠B＝30°，∠ACB＝∠BDF＝90°∴∠BCD＝∠A＝60°，∵∠ADP+∠PDC＝90°，∠CDE+∠PDC＝90°∴△CQD∽△APD

②∵在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝3

又∵△CQD∽△APD，CQ＝x．

∴

（2）①△BEN是等腰三角形．BE＝6﹣t，BN＝（6﹣t）．

②S△MCN＝（6﹣t）×

（3）存在．

由題意建立方程，

解得x＝或

即當AP＝或AP＝時，S△PCQ等于S△MCN的最大值．