Question

如圖，一把“T型”尺（圖1），其中MN⊥OP，將這把“T型”尺放置于矩形ABCD中（其中AB=4，AD=5），使邊OP始終經過點A，且保持OA=AB，“T型”尺在繞點A轉動的過程中，直線MN交邊BC、CD于E、F兩點．（圖2）
（1）試問線段BE與OE的長度關系如何？并說明理由；
（2）當△CEF是等腰直角三角形時，求線段BE的長；
（3）設BE=x，CF=y，試求y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域．

Answer 1

分析：（1）線段BE與OE的長度相等，如圖，連接AE，在△ABE與△AOE中，已知條件可以證明它們全等，然后利用全等三角形的性質即可得到結論；
（2）延長AO交BC于點T，由于△CEF是等腰直角三角形，由此可以得到△OET與△ABT均為等腰直角三角形，而在△ABT中，AB=4，利用勾股定理即可求出AT，然后可以求出線段BE的長；
（3）在BC上取點H，使BH=BA=4，過點H作AB的平行線，交EF、AD于點K、L，如圖，根據已知條件可以證明四邊形ABHL為正方形，然后得到KL=KO，令HK=a，則在△HEK中，EH=4-x，EK=x+4-a，利用勾股定理可以求出用x表示的a的值，又HL∥AB，根據平行線的性質可以求出函數關系式；要求BE的最大值，則當點F和點D重合，根據勾股定理求得OF=3，設BE=OE=x，在直角三角形CEF中，根據勾股定理列方程即可求解．

解答：解：（1）線段BE與OE的長度相等
如圖，連接AE，在△ABE與△AOE中，
∵OA=AB，AE=AE，∠ABE=∠AOE=90°，
∴△ABE≌△AOE，
∴BE=OE；


（2）延長AO交BC于點T，
∵∠OEC=∠OEC，∠EOT=∠C=90°，
∴△OET∽△CEF，
同理，∵∠ATB=∠ATB，∠EOT=∠ABT=90°，
∴△OET∽△BAT，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴△OET與△ABT均為等腰直角三角形，
于是在△ABT中，AB=4，則AT=

AB2+BT2

=

42+42

=4

2

，
∴BE=OE=OT=4

2

-4；

（3）在BC上取點H，使BH=BA=4，過點H作AB的平行線，
交EF、AD于點K、L，（如圖）
∴四邊形ABHL為正方形
由（1）可知KL=KO，
令HK=a，則在△HEK中，EH=4-x，EK=x+4-a
∴（4-x）²+a²=（x+4-a）²，
化簡得：a=

8x

4+x

，
又HL∥AB，
∴

y

a

=

EC

EH

=

5-x

4-x

，即y=

40x-8x2

16-x2

，
∴函數關系式為y=

40x-8x2

16-x2

，
BE的最小值應大于0，最大值即當點F和點D重合，根據勾股定理求得OF=3．
設BE=OE=x，在直角三角形CEF中，根據勾股定理，得
（3+x）²=（5-x）²+16，
解得x=2．
所以定義域，即x的取值范圍為0＜x≤2．

點評：此題比較復雜，考查了全等三角形的性質與判定、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理、然后把求函數關系式放到這個復雜的幾何圖形中，所以綜合性很強，能力要求比較高，對于以上所有知識必須很熟練才能好的解決問題．