Question

已知關于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求證：無論m取任何實數時，方程總有實數根；
（2）若關于x的二次函數y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關于y軸對稱．求這個二次函數的解析式．

Answer 1

（1）證明：∵△=[-3（m-1）]²-4×m×（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，
∴無論m取任何實數時，方程總有實數根；

（2）解：∵關于x的二次函數y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關于y軸對稱，
∴對稱軸：x=-==0，
∴3（m-1）=0，
解得：m=1，
∴這個二次函數的解析式為：y₁=x²-1．
分析：（1）由判別式△=[-3（m-1）]²-4×m×（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，即可判定無論m取任何實數時，方程總有實數根；
（2）由關于x的二次函數y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關于y軸對稱，可得對稱軸：x=-==0，即可求得m的值，繼而求得答案．
點評：此題考查了一元二次方程根的情況以及待定系數法求二次函數的解析式．此題難度適中，注意掌握方程思想的應用．