Question

如圖所示，已知直線y=x與拋物線y=ax²+b（a≠0）交于A（-4，-2），B（6，3）兩點．拋物線與y軸的交點為C．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）在拋物線上存在點M，是△MAB是以AB為底邊的等腰三角形，求點M的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點P使得△PAC的面積是△ABC面積的？若存在，試求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得：，
解得；
∴拋物線的解析式為y=x²-6；

（2）如圖1，取AB的中點E，則E（1，）；過E作直線l垂直于AB；
∵直線AB的解析式為：y=x，∴可設直線l的解析式為y=-2x+b；
∵直線l過E（1，），則有：=-2+b，b=；
∴直線l的解析式為：y=-2x+；聯(lián)立拋物線的解析式有：
，
解得，
∴M（-4+5，-10）或（-4-5，+10）；

（3）過B作BF⊥AC于F，交x軸于N；
過F作FH⊥y軸于H，過A作AG⊥y軸于G；
在BF上截取BK=BF；
∵A（-4，-2），B（6，3），C（0，-6）
∴S_△ABC=OC×|x_B-x_A|
=×6×10=30；
Rt△AGC中，AG=CG=4，則∠GAC=∠HFC=45°，AC=4；
∵∠BFC=90°，
∴∠BNx=∠BFH=90°-45°=45°；
易知BN=3，BK=BF=×=×=；
∴NK=BN-BK=；
由于∠BNx=45°，可求得K（，）；
易知直線AC的解析式為：y=-x-6，過K作直線m平行于AC，可設直線m的解析式為：y=-x+h，則：
-+h=，h=；
∴直線m的解析式為y=-x+；
由于△ABC與△PAC等底不等高，
則面積比等于高的比，由于KF=BF，那么P點必為直線m與拋物線的交點，聯(lián)立直線m與拋物線的解析式可得：
，
解得，；
∴P點的坐標為（5，）或（-9，）．
分析：（1）根據(jù)A、B的坐標即可求出拋物線的解析式；
（2）若等腰△MAB以AB為底邊，則M必為AB的垂直平分線與拋物線的交點；根據(jù)A、B的坐標，易求出其中點的坐標，進而可求出其垂直平分線的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到M點的坐標；
（3）由于△BAC與△PAC同底不等高，那么它們的面積比等于底邊的比，可過B作BF⊥AC，求出△ABC的面積后即可得到BF的長；可在BF上截取BK=BF，那么P點必為過K點且平行于AC的直線與拋物線的交點；可分別過A、F作y軸的垂線，設垂足為G、H，求出∠GAC、∠HFC的度數(shù)，從而可得到∠BNx的度數(shù)，而BN的長求得，即可得出NK的值，從而求出K點的坐標；易求出直線AC的解析式，由于過K的直線與AC平行，那么它們的斜率相同，由此可求出直線KP的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求得P點的坐標．
點評：此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定、函數(shù)圖象交點、三角形面積的求法等重要知識點，綜合性強，難度較大．