Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)．把線段AM進(jìn)行以A為旋轉(zhuǎn)中心、向順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換得到AB．過B作x軸的垂線、過點(diǎn)C作y軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D，直線DB交x軸于一點(diǎn)E．設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，
（1）若t=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（5，1.5）

，若t=-3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（-1，-1.5）

；
（2）若t＞0，△BCD的面積為S，則t為何值時(shí)，S=6？
（3）是否存在t，使得以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先由勾股定理求得線段AC的長，然后利用△AOC∽△BOA求得線段BE、AE的長，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）分0＜t＜8時(shí)和t＞8，利用△AOC∽△BEA根據(jù)相似比表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)后，利用面積為6求得t值即可；
（3）分0＜t＜8、t＞8、-2＜t＜0、t＜-2根據(jù)△AOC∽△CDB和△AOC∽△BDC兩種情況得到比例式即可求得t值．

解答：解：（1）∵C的坐標(biāo)為（0，4），t=3或-3，
∴由勾股定理得：AC=5，
∵△AOC∽△BEA且相似比為

AC

AB

=2，AO=3  OC=4
∴AE=2，BE=1.5
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，1.5）或（-1，-1.5  ）；             
（2）①當(dāng)0＜t＜8時(shí)，如圖（1）
△AOC∽△BEA且相似比為

AC

AB

=

AC

AM

=2，
求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+2，

1

2

t），
∴S=

1

2

DC•DB=

1

2

（t+2）×（4-

1

2

t）=6，
解得  t=2或4，
②當(dāng)t＞8時(shí)，如圖（2）
S=

1

2

DC•DB=

1

2

（t+2）×（

1

2

t-4）=6，
解得  t=10或t=-4（舍去）
∴t=2，t=4，t=10，
（3）①當(dāng)0＜t＜8時(shí)，如圖（1）
若△AOC∽△CDB
∴

AO

CD

=

CO

BD

即：

t

t+2

=

4

4- 1 2 t

∴t無解
若△AOC∽△BDC，同理，解得t=2

5

-2或t=-2

5

-2（不合題意舍去），
②當(dāng)t＞8時(shí)，如圖（2）
若△AOC∽△CDB，
∴

AO

CD

=

CO

BD

即：

t

t+2

=

4

1 2 t-4

，
解得t=±4

5

+8，取t=4

5

+8，
若△AOC∽△BDC，同理，解得t無解，
③當(dāng)-2＜t＜0時(shí)，如圖（3），
若△AOC∽△CDB，
∴

AO

CD

=

CO

BD

即：

-t

t+2

=

4

4- 1 2 t

，
解得t=4

5

+8（不合題意舍去）或t=-4

5

+8，
若△AOC∽△BDC，同理，解得t無解
④當(dāng)t＜-2時(shí)，如圖（4）
若△AOC∽△CDB，
∴

AO

CD

=

CO

BD

即：

-t

-t-2

=

4

4- 1 2 t

，
則t無解，
若△AOC∽△BDC，同理，解得t=4（不合題意舍去）或-4；
則t=2

5

-2，t=4

5

+8，t=-4

5

+8，t=-4．

點(diǎn)評：本題考查了相似形的綜合題，比較繁瑣，難度很大，解答此題的關(guān)鍵是畫出圖形作出輔助線，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)利用比例式列出方程解答．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的重要作用．