Question

12、如圖，已知在△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠BAD=∠CAE=90°，AM為△ABC中BC邊上的中線，連接DE．求證：DE=2AM．

Answer 1

分析：延長AM到F，使MF=AM，連接BF（如圖），利用BM=CM，∠AMC=∠BMF，求證△AMC≌△BMF，再利用三角形內(nèi)角和定理求證∠DAE=∠ABF，再求證△DAE≌△ABF即可．

解答：證明：
延長AM到F，使MF=AM，連接BF（如圖）
又∵BM=CM，∠AMC=∠BMF，
∴△AMC≌△BMF
∴∠1=∠2，F(xiàn)B=AC=AE
因為∠BAC+∠DAE=180°
∠1+∠3+∠BAC=180°
∴∠DAE=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABF
又∵AD=AB，
∴△DAE≌△ABF（SAS）
∴DE=AF=2AM．

點評：此題考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關鍵是延長AM到F，使MF=AM，連接BF，求證兩次三角形全等，即可證明DE=2AM．