Question

如圖所示，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形OBA的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，B點(diǎn)位于第一象限．將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后，得到△OB′A′，點(diǎn)A′恰好落在雙曲線y=

k

x

（k≠0）上．
（1）在圖中畫(huà)出△OB′A′；
（2）求雙曲線y=

k

x

（k≠0）的解析式；
（3）等邊三角形OB′A′繞著點(diǎn)O繼續(xù)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)

 

度后，A′點(diǎn)再次落在雙曲線上？（ 直接將答案填寫(xiě)在橫線上即可，不需要說(shuō)明理由 ）

Answer 1

分析：（1）旋轉(zhuǎn)中心為O點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角為30°，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針，由此畫(huà)出圖形；
（2）根據(jù)三角形的軸對(duì)稱性及所畫(huà)圖形，由勾股定理求OM，MA′，確定A′的坐標(biāo)，可求雙曲線解析式；
（3）雙曲線y=-

3

x

關(guān)于直線y=-x軸對(duì)稱，可求A′（

3

，-1）點(diǎn)關(guān)于直線y=-x的軸對(duì)稱點(diǎn)，再判斷這個(gè)點(diǎn)是否在雙曲線上．

解答：解：（1）畫(huà)圖如圖所示；

（2）設(shè)A′B′與x軸交于點(diǎn)M，
由題意可知：OA=2，∠MOA′=30°
∴AM=1，
由勾股定理得：OM=

3

，
∴A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

，-1），
∵A′恰好落在雙曲線y=

k

x

（k≠0）上，
∴k=-

3

∴雙曲線的解析式為：y=-

3

x

；

（3）30．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．關(guān)鍵是通過(guò)坐標(biāo)系里的圖形旋轉(zhuǎn)，特殊三角形的性質(zhì)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，確定雙曲線的解析式．