Question

【題目】一副三角板如圖1所置，其中AC邊與等腰Rt△EBD斜邊上的中線EC共線，以C點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針轉(zhuǎn)動△ACB，B、A兩點分別于G、F兩點對應(yīng)，CG交BE邊于點M，CF交DE邊于N，已知旋轉(zhuǎn)角為α，BC＝2．

（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖2所示，若旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜30°）時，猜想CM與CN的數(shù)量關(guān)系，并寫出你的推斷過程；

（類比探究）（2）如圖3所示，若旋轉(zhuǎn)角α＝75°時，（1）中的結(jié)論是否還成立？　 　，此時連接MN，請直接寫出MN的長度為　 　；

（拓展延伸）（3）在圖3的基礎(chǔ)上將△GCF向左平移至△GHF的位置，若DH＝kBH，猜想線段HN與HM的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）CM＝CN，證明詳見解析；（2）成立，；（3）HN＝kHM．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EC⊥CD，EC＝CD＝BC，證明△BCM≌△ECN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

（2）作CP⊥BE于點P，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PC，根據(jù)余弦的定義求出CM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算，得到答案；

（3）作HQ∥EC，證明△MHQ∽△NHD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

解：（1）CM＝CN，

理由如下：在Rt△BED中，EB＝ED，BC＝CD，

∴EC⊥CD，EC＝CD＝BC，∠BEC＝∠DEC＝∠B＝∠D＝45°，

∵∠BCM+∠ECM＝90°，∠ECN+∠ECM＝90°，

∴∠BCM＝∠ECN，

在△BCM和△ECN中，

∴△BCM≌△ECN（ASA）

∴CM＝CN；

（2）（1）中的結(jié)論成立， ，

理由如下：作CP⊥BE于點P，（1）中的結(jié)論成立，證明過程同（1）相同，

在Rt△BCP中，∠B＝45°，

∴PC＝BCsinB＝，

∵∠BCM＝75°，∠BCP＝45°，

∴∠PCM＝30°，

∴CM＝＝，

在等腰直角三角形MCN中，MN＝PC＝，

故答案為：成立；；

（3）HN＝kHM，

理由如下：過點H作HQ∥EC交BE于點Q，

則△BHQ為等腰直角三角形，

∴BH＝HQ，

∵DH＝kBH，

∴DH＝kQH，

∵∠MHQ+∠QHF＝90°，∠NHD+∠QHF＝90°，

∴∠MHQ＝∠NHD，又∠MQH＝∠NDH，

∴△MHQ∽△NHD，

∴＝＝k，即HN＝kHM．