Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，邊長為2，∠BAD＝120°，點P從點B開始，沿著B→D方向，速度為每秒1個單位，運動到點D停止，設(shè)運動的時間為t（秒），將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到對應(yīng)線段的延長線與過點P且垂直AP的垂線段相交于點E，

（1）當(dāng)t＝0時，求AE的值．

（2）P點在運動過程中，線段PE與菱形的邊框交于點F．（精確到0.1）

問題1：如圖2，當(dāng)∠BAP＝11°，AF＝2PF，則OQ＝　 　．

問題2：當(dāng)t為何值時，△APF是含有30°角的直角三角形，寫出所有符合條件的t的值　 ．

（≈1.73，sin11°≈0.19，cos11°≈0.98，sin19°≈0.33，tan19°≈0.34，sin41°≈0.65，tan41°≈0.87）

（3）當(dāng)點P在運動過程中，求出△ACE的面積y關(guān)于時間t的函數(shù)表達式．（請說明理由）

Answer 1

【答案】（1）AE＝4；（2）問題1：OQ≈0.6，問題2：t＝1s或4s時，∠PAF＝30°；（3）S△ACE＝t（0＜t≤6）．．

【解析】

（1）利用直角三角形30度角的性質(zhì)解決問題即可．

（2）①根據(jù)OQ=OAtan19°，求出OA即可解決問題．

②分兩種情形：如圖2-2中，當(dāng)∠PAF=30°時，延長FP到H，使得PH=PF，連接AH，BH．如圖2-1中，當(dāng)∠PAF=30°，分別求解即可．

（3）如圖3中，作BM⊥AB交AC的延長線于M，作EH⊥AM于H，連接EM．證明△EAM∽△PAB，推出=2，求出EM即可解決問題．

（1）t＝0時，點P與點B重合，

∵∠PAE＝60°，∠APE＝60°，

∴∠E＝30°，

∴AE＝2PA＝2AB＝4.

（2）①如圖2中，

∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝120°，

∴∠DAC＝∠CAB＝60°，AD＝CD＝AB＝BC＝2，

∴△ADC，△ABC都是等邊三角形，

∴AC＝AB＝2，OA＝OC＝，

∵∠APF＝90°，

∴sin∠PAF＝＝，

∴∠PAF＝30°，

∴∠OAQ＝60°﹣11°﹣30°＝19°，

∴OQ＝OAtan19°≈0.6．

故答案為0.6．

②如圖2﹣2中，當(dāng)∠PAF＝30°時，延長FP到H，使得PH＝PF，連接AH，BH．

∵PA⊥FH，FP＝FH，

∴AF＝AH，

∵∠PAF＝30°，

∴∠AFH＝60°，

∴△AFH是等邊三角形，

∴∠PAH＝∠PAF＝30°，

∴PA＝PH，

∵∠AHF＝∠ABC＝60°，

∴A，H，B，F四點共圓，

∴∠ABH＝∠AFH＝60°，

∴∠ABH＝∠BAC＝60°，

∴BH∥AC，

∵BD⊥AC，

∴BD⊥BH，

由△HBP∽△POA，可知：＝，

∴OA＝t，

∴＝t，

∴t＝1．

如圖2﹣1中，當(dāng)∠PAF＝30°，易知∠BAP＝90°，

∴PB＝＝＝4，

綜上所述，t＝1s或4s時，∠PAF＝30°．

故答案為1s或4s．

（3）如圖3中，作BM⊥AB交AC的延長線于M，作EH⊥AM于H，連接EM．

在Rt△ABM中，∵∠ABM＝90°，∠BAM＝60°，

∴∠AMB＝30°，

∴AM＝2AB，

在Rt△APE中，∵∠APE＝90°，∠PAE＝60°，

∴∠AEP＝30°，

∴AE＝2PA，

∴＝＝2，

∵∠EAP＝∠MAB，

∴∠EAM＝∠PAB，

∴△EAM∽△PAB，

∴＝＝2，∠AME＝∠ABP＝30°，

∴EM＝2t，EH＝EM＝t，

∴S△ACE＝ACEH＝t（0＜t≤6）．