Question

如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC．

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關系，并證明你的結論；
（2）將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC．你認為（1）中的結論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察圖形，AE、CG的位置關系可能是垂直，下面著手證明．由于四邊形ABCD、DEFG都是正方形，易證得△ADE≌△CDG，則∠1=∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AH⊥CG．
（2）題（1）的結論仍然成立，參照（1）題的解題方法，可證△ADE≌△CDG，得∠5=∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6=∠7；由圖知∠AEB=∠CEH=90°-∠6，即∠7+∠CEH=90°，由此得證．
解答：解：（1）答：AE⊥GC；（1分）
證明：延長GC交AE于點H，
在正方形ABCD與正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，
DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2；（3分）
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°，
∴AE⊥GC．（5分）

（2）答：成立；（6分）
證明：延長AE和GC相交于點H，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4；（8分）
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．（10分）
點評：本題主要考查旋轉的性質以及全等三角形的判定和性質．需要注意的是：旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．