Question

（1）一個自然數N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，則N的最小值是

 

．
（2）若1059、1417、2312分別被自然數x除時，所得的余數都是y，則x-y的值等于（　�。�
A．15    B．1    C．164    D．174
（3）設N=

11…1

1990個

，試問N被7除余幾？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）N+1能分別被2，3，4，5，6，7，8，9，10整除；
（2）建立關于x，y的方程組，通過解方程組求解；
（3）從考查11，111，…111111被7除的余數人手．

解答：解：（1）N+1為2～10的公倍數，要使N最小，取N+1為它的最小公倍數2²×3²×5×7=2520，故N的最小值為2520-1=2519，
（2）設已知三數被自然數x除時，商數分別為a、b、c，

ax+y=1059…① bx+y=1417…② cx+y=2312…③

②-①得：（b-a）x=358，③-②得（c-b）x=895，③-①得（c-a）x=1253，
由此x為358、895、1253的公約數，x=179，
1059÷179=5…164，
y=164，
x-y=179-164=15．
故選A．
（3）111111=7×15873，而1990=6×331+4，故只須考查1111被7除的余數，1111=7×158+5，故N被7除余5．

點評：本題主要考查帶余數除法的知識點，運用余數公式，余數性質，化不整除問題為整除問題，此題難度較大．