Question

如圖，在△ABC中（AB≠AC），M為BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，求證：ME=MF．

Answer 1

分析：如圖，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H．根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理證得MF=ME=

1

2

GB．

解答：證明：如圖，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H．
∵AF⊥GC，AD平分∠BAC，
∴AG=AC，GF=CF，
又∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
∴MF是△BCG的中位線(xiàn)，
∴MF=

1

2

GB．
同理，ME=

1

2

HC．
∵AD平分∠BAC，BE⊥AD，
∴AB=AH，
∴BG=AB-AG=AH-AC=CH，即BG=CH，
∴MF=ME．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線(xiàn)定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的難點(diǎn)是作出圖中的輔助線(xiàn)，構(gòu)建等腰三角形．