Question

（本小題滿分14分）設函數(shù)
（1）當時，求的極值；
（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）當時，對任意的正整數(shù)，在區(qū)間上總有個數(shù)使得成立，試求正整數(shù)的最大值。

Answer 1

（1），沒有極大值.
（2）綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為
（3）解析:
（1）先求出函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的導數(shù)，研究其單調(diào)性求出
其極值；（2）令=0，得，比較與的大小得和的范圍，就得到了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）解本題的關鍵是要使在區(qū)間上總有個數(shù)使得成立，只需
即可。
解：（1）函數(shù)的定義域為 ……………………………………1分
當時，，∴………………2分
由得隨變化如下表：

	—	0	+
	↘	極小值	↙

故，，沒有極大值. …………………………4分
（2）由題意，
令得，………………………………………………6分
若，由得；由得…………7分
若，①當時，，或，；，
②當時，
③當時，或,;，
綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為
……………………………………………………………………10分
（3）當時，
∵，∴ ∴，
 ………………………………………………12分
由題意，恒成立。
令，且在上單調(diào)遞增，
，因此，而是正整數(shù)，故，
所以，時，存在，時，對所有滿足題意，∴